Forma Bilineare

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Forma bilineare

In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare V × V → F, dove F è un campo, lineare in entrambe le componenti. Definizione Una forma bilineare su uno spazio vettoriale V con campo è una mappa che associa ad ogni coppia di elementi uno scalare , tale che sia lineare su entrambi i fattori. In altre parole, φ è bilineare se valgono le seguenti: Ovvero se fissato uno dei due argomenti la funzione è lineare rispetto all... — | approfondisci »

Tensore

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spazio duale , ovvero un tensore di tipo (0,1). D'altra parte, un tensore di tipo è un elemento dello spazio biduale , identificato con in modo canonico. Quindi un tensore di tipo (1,0) è un vettore di Forme bilineari Una forma bilineare è un tensore di tipo (0,2). Fra queste, troviamo ad esempio i prodotti scalari. Endomorfismi Un tensore di tipo può essere interpretato come un endomorfismo su tramite la relazione Determinante Il determinante è una applicazione... — | approfondisci »

Forma quadratica

forme quadratiche. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica Dato uno spazio vettoriale V su un campo ed f una forma bilineare simmetrica, l'applicazione: che ad ogni vettore dello spazio vettoriale associa una forma quadratica che verifica le seguenti proprietà: per . Con questo risultato si vede che la forma quadratica non è lineare. Infatti la 1) si ottiene: La 2) si ottiene: Se si considera per la generica forma quadratica in due variabili la espressione si... — | approfondisci »

Spazio duale

uno su W tramite composizione con f. Se A è la matrice associata a f rispetto a due basi di V e W, allora la trasposta A è la matrice associata a f rispetto alle basi duali di W* e V*. Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'operazione che trasforma gli spazi vettoriali ed i loro morfismi negli spazi vettoriali duali con i morfismi trasposti è un funtore covariante dalla categoria degli spazi vettoriali su K in sé. Forma bilineare e spazio biduale Per quanto detto sopra, se V ha... — | approfondisci »

Lemma di Lax-Milgram

Il lemma di Lax-Milgram è un risultato di analisi funzionale con rilevanti applicazioni nella teoria delle equazioni alle derivate parziali ed è fondamentale in analisi numerica per lo studio del metodo degli elementi finiti. Il punto di partenza è la formulazione debole del problema alle derivate parziali. Siano uno spazio di Hilbert con norma , una forma bilineare su e un funzionale (ovvero un elemento del duale di , ); si voglia trovare soluzione del problema variazionale dove... — | approfondisci »

Spazio vettoriale simplettico

In algebra lineare, si chiama spazio vettoriale simplettico uno spazio vettoriale reale di dimensione pari dotato di una funzione tale che, per ogni in e per ogni in per ogni implica In altre parole, è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. munito della forma si dice anche munito di struttura simplettica. Fissata una base, si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere... — | approfondisci »

Funzionale lineare

alla forma bilineare, un particolare esempio di forma multilineare. I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica, soprattutto nella meccanica quantistica. Esempi è un funzionale lineare, che associa ad ogni vettore dello spazio euclideo la sua prima coordinata. • Il funzionale associa ad una funzione integrabile f, definita sull'intervallo ed a valori nei numeri reali o complessi, l'integrale di f tra i due estremi. Qui lo spazio vettoriale V può essere ad esempio quello delle... — | approfondisci »

Forma sesquilineare

In matematica una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso V è una funzione V × V → C che è antilineare nel primo argomento e lineare nel secondo. Il nome trae origine dal prefisso sesqui che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi. Talora si chiede invece che una trasformazione sesquilineare sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo: questa è infatti la convenzione... — | approfondisci »

Metodo di Galërkin

In matematica ed in particolare in analisi numerica, i metodi di Galërkin permettono di passare dalla risoluzione di un problema definito in uno spazio continuo alla risoluzione di tale problema in uno spazio discreto al fine di determinarne una soluzione numerica approssimata. Introduzione Dato un problema definito su uno spazio di Hilbert , data una forma bilineare (derivante ad esempio dalla formulazione debole di una equazione differenziale alle derivate parziali) ed una forma lineare... — | approfondisci »

Curvatura scalare

scalare è una funzione differenziabile che associa ad ogni punto di un numero reale, definito contraendo i due indici del tensore di curvatura di Ricci nel modo seguente: , ovvero una forma bilineare. La curvatura sezionale è la traccia di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del tensore metrico , presente nella formula. La curvatura scalare è un tensore di tipo , ovvero una funzione. Proprietà Simboli di Christoffel In un sistema di coordinate, la curvatura... — | approfondisci »

Operatore bilineare

lineare, e la stessa cosa vale se si tiene fisso il secondo argomento. Se e si ha per ogni , allora è simmetrico. Nel caso in cui , si ha una forma bilineare; questo caso è particolarmente utile (vedere per esempio prodotto scalare, prodotto interno e forma quadratica). La definizione funziona senza altri cambiamenti se al posto di spazi vettoriali si usano moduli su un anello commutativo . È inoltre semplice generalizzare questo concetto a una funzione in variabili, e il termine... — | approfondisci »

Teorema di Sylvester

In matematica e, più precisamente, in algebra lineare, il Teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita, tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura e nel caso complesso è il rango. Definizioni Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, sul campo K dei numeri reali o complessi. Un prodotto scalare φ su V è una forma bilineare simmetrica. Due prodotti scalari φ e ψ sono isometrici se sono... — | approfondisci »