Definito Positivo

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Prodotto scalare

di vettori a, b, c e per ogni numero reale . Le prime due relazioni esprimono la "linearità a destra" e le altre due "a sinistra". Tutte queste proprietà sono espresse sinteticamente affermando che il prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica. Definito positivo Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è sempre maggiore o uguale a zero: Inoltre, questo è zero se e solo se il vettore è zero (proprietà di annulamento del prodotto scalare): Questa proprietà può essere espressa... — | approfondisci »

Sottospazio ortogonale

In algebra lineare, il sottospazio ortogonale realizza il concetto di perpendicolarità per sottospazi di uno spazio vettoriale munito di un prodotto scalare. Quando il prodotto scalare è definito positivo, il sottospazio ortogonale è spesso chiamato anche complemento ortogonale. Definizione Richiami Sia uno spazio vettoriale su un campo , munito di un prodotto scalare o di una forma hermitiana Un prodotto scalare può essere definito per un campo qualsiasi, mentre una forma... — | approfondisci »

Algoritmo di Lagrange

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'algoritmo di Lagrange è un algoritmo utile a trovare una base ortogonale in uno spazio vettoriale di dimensione finita munito di un prodotto scalare. Nel caso in cui il prodotto scalare sia definito positivo, è spesso più conveniente utilizzare il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. L'algoritmo Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo , con prodotto scalare . L'algoritmo costruisce una base ortogonale... — | approfondisci »

Semispazio di Poincaré

Poincare halfplane eptagonal hb.svg

fattore positivo che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina all'iperpiano . Proprietà Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il disco di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione . Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo. Voci correlate ... — | approfondisci »

Trasformazione ortogonale

reale dotato di un prodotto scalare definito positivo. Una trasformazione ortogonale è una trasformazione lineare che preserva il prodotto scalare. Vale cioè la relazione per ogni coppia di vettori in . Proprietà Isometria Una trasformazione ortogonale preserva la norma di un vettore: Più in generale, la trasformazione preserva la distanza su : In altre partole, una trasformazione ortogonale è una isometria. Non tutte le isometrie di sono trasformazioni ortogonali: ad esempio la... — | approfondisci »

Segnatura (algebra lineare)

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la segnatura è una terna di numeri che fornisce delle informazioni su una matrice simmetrica o su un prodotto scalare. La segnatura è utile a determinare le proprietà essenziali di un prodotto scalare. Ad esempio, un prodotto scalare definito positivo, come quello presente in uno spazio euclideo, ha segnatura , mentre lo Spazio-tempo di Minkowski (fondamentale nella teoria della relatività) ha segnatura oppure , a seconda delle... — | approfondisci »

Tensore metrico

matrice è la stessa per ogni se la varietà è connessa. Se la segnatura è di tipo , cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana. Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente... — | approfondisci »

Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt

In matematica, e in particolare in algebra lineare, l'ortogonalizzazione Gram-Schmidt è un algoritmo che permette di ottenere un insieme di vettori ortogonali a partire da un generico insieme di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale dotato di un prodotto scalare definito positivo. L'algoritmo Sia V uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare definito positivo. Siano dei vettori indipendenti in V. L'algoritmo di Gram-Schmidt restituisce n vettori linearmente... — | approfondisci »

Varietà riemanniana

Tangentialvektor.svg

In matematica, la nozione di varietà riemanniana è centrale in geometria differenziale, ed è utile a modellizzare spazi "curvi" di dimensione arbitraria. Una varietà riemanniana è una varietà differenziabile su cui sono definite le nozioni di distanza, lunghezza, geodetica, area (o volume), curvatura. Prende il nome dal matematico tedesco Bernhard Riemann. Definizione La definizione di varietà riemanniana è la seguente. dotata di un tensore metrico definito positivo. definisce... — | approfondisci »

Base ortonormale

spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di prodotto scalare. Una base ortogonale per è una base composta da vettori a due a due ortogonali. Due vettori sono ortogonali quando il loro prodotto scalare è uguale a zero. In formule: Base ortonormale Se il prodotto scalare è definito positivo, è possibile introdurre la nozione di base ortonormale: questa è una base ortogonale in cui ogni vettore ha norma uno. Questa nozione si generalizza ad uno spazio di Hilbert (che può essere reale o... — | approfondisci »

Varietà pseudo-riemanniana

la seguente. Per il teorema di Sylvester, il tipo di prodotto scalare è determinato dalla sua segnatura. Se il prodotto scalare ha segnatura , cioè è definito positivo, la varietà è detta varietà riemanniana. Se ha segnatura (oppure , a seconda delle convenzioni usate), la varietà è detta lorentziana. Proprietà Curvatura Le usuali nozioni di curvatura definite per varietà riemanniane si estendono alle varietà pseudo-riemanniane. Come nel caso riemanniano, è infatti definita un... — | approfondisci »

Isometria

scalare sia definito positivo, lo spazio vettoriale è anche uno spazio metrico, e le due definizioni fondamentalmente coincidono; l'unica differenza consiste che nello spazio vettoriale l'isometria è supposta fissare l'origine: in particolare, non sono ammesse traslazioni. Voci correlate ... — | approfondisci »